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Nash-Gleichgewicht

Definition: In einer nicht kooperativen Spielsituation bezeichnet das Nash-Gleichgewicht die beste Antwort auf die beste Antwort des Gegenspielers.

Interpretation Nash-Gleichgewicht

Im Nash-Gleichgewicht lohnt es sich für keinen Spieler von seiner Strategie (= gewählte Handlung) abzuweichen, da er sich dadurch nicht besserstellen kann.

Arten des Nash-Gleichgewichts

Nash-Gleichgewichte können nach verschiedenen Kriterien unterschieden werden. In der Regel unterscheiden sie sich hinsichtlich der Strategiewahl.

  • Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien: Die Spieler treffen eine konkrete Entscheidung über ihre Strategie.
  • Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: Die Spieler treffen eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit, mit der sie eine bestimmte Strategie spielen.
  • Bayessches Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: In diesem Falle ist dem Spieler der Typ des Gegenspielers unbekannt. Er kann lediglich Wahrscheinlichkeiten bilden, dass der Gegenspieler von einem bestimmten Typ (Auszahlungen) ist.
  • Nash-Gleichgewicht in sequenziellen Spielen: Dabei werden die Entscheidungen nicht simultan, sondern nacheinander getroffen. Dem zweiten Spieler ist die Entscheidung des ersten Spielers bekannt. Siehe Rückwärtsinduktion [LINK].
  • Nash-Gleichgewicht in simultanen Spielen: Häufigster Fall in der Spieltheorie.

Algorithmen zum Finden von Nash-Gleichgewichen in reinen Strategien

Es gibt zwei Möglichkeiten, Nash-Gleichgewiche in reinen Strategien in Spielen in Normalform [LINK] zu finden.

  • Streichen von streng dominierten Strategien
  • Pfeile einzeichnen

Streichen von streng dominierten Strategien

Ist eine Strategie in jeder Situation schlechter als eine andere zur Auswahl stehende Strategie, kann sie aus der weiteren Betrachtung gestrichen werden. Dies kann für die Spieler wechselseitig so lange erfolgen, bis nur noch eine Strategiekombination übrig ist.

Dies ist jedoch nicht in jedem Falle möglich.

Beispiel Streichen von streng dominierten Strategien

Die Abbildung zeigt, wie streng dominierte Strategien gestrichen werden können.

Streichen von streng dominierten StrategienWichtig ist, dass nur streng dominierte Strategien gestrichen werden dürfen. Strategien, die nur schwach dominiert sind, müssen behalten werden, da sonst Nash-Gleichgewichte übersehen werden können.

Beispiel Keine streng dominierten Strategien

Die folgende Tabelle zeigt eine Situation, in der keine Strategie streng dominant ist.

Keine dominierende Strategie

Gibt es keine streng dominierte Strategie, darf keine Strategie gestrichen werden. Dann kann die „Pfeil-Methode“ angewendet werden.

Einzeichnen von Pfeilen

Die erste Abbildung zeigt ein Spiel mit einem Nash-Gleichgewicht.

Nashgleichgewicht Pfeile

Die zweite Abbildung zeigt ein Spiel mit zwei Nash-Gleichgewichten.

2 Nash-Gleichgewichte Pfeile

Die dritte Abbildung zeigt ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht.

Kein Nash-Gleichgewicht PfeileNicht jedes Spiel muss über ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien verfügen. Die letzte Abbildung macht dies deutlich.

Berechnen von Nash-Gleichgewichten in gemischten Strategien

Eine gemischte Strategie liegt vor, wenn man den einzelnen Strategien Wahrscheinlichkeiten zuordnet, mit denen man diese auswählt.

Wann kann eine gemischte Strategie vorliegen?

  • Wenn das Spiel wiederholt wird.
  • Wenn die Zahl der Strategien sehr groß ist (z.B. Wahl der Produktionsmenge zwischen 0 und 100. Hier ist jeder Wert, auch Brüche, möglich)

Im Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien versucht der Spieler den Erwartungswert seiner Auszahlungen zu maximieren.

Spieler 1
LinksRechts
Spieler 2ObenA; aB ; b
UntenC ; cD; d

Die Tabelle zeigt ein Spiel in Normalform. Die Auszahlungen für Spieler 2 sind in Großbuchstaben angegeben, die für Spieler 2 in Kleinbuchstaben.

Ei: Erwartungswert

p: Spieler 1 spielt Links

1-p: Spieler 1 spielt Rechts

q: Spieler 2 spielt Oben

1-q: Spieler 2 spielt Unten

Die Erwartungswerte für Spieler 1 und 2 berechnen sich wiefolgt:

E1= p*q*a+(1-p)*q*b+p*(1-q)*c+(1-p)*(1-q)*d

E2 = p*q*A+(1-p)*q*B+p*(1-q)*C+(1-p)*(1-q)*D

Jetzt muss optimiert werden. Dazu wird von Ei die erste Ableitung gebildet. Spieler 1 kann p beeinflussen, daher wird E1 nach p abgeleitet.

dE1/dp = qa-qb+c-qc-d+qd = 0

dE2/dq = pA+B-pB+C-pC-D+pD = 0

Jetzt nach p bzw. q umstellen

p = (d-c)/(a-b-c+d)

q = (D-C)/(A-B-C+D)

Mit diesen Gleichungen lassen sich für beliebige Auszahlungskombinationen die optimalen gemischten Strategien berechnen.

Man sieht, dass der Erwartungswert der Auszahlung für Spieler 1 nicht von seiner Mischwahrscheinlichkeit p abhängt, sondern von der Wahrscheinlichkeit q, die von Spieler 2 bestimmt wird.

Dies ist der Fall, weil bei der Ableitung das p (bzw. q) für Spieler 1 (bzw. Spieler 2) wegfällt.

Das Gleichgewicht in gemischten Strategien berechnet sich wie folgt.

Zahlenbeispiel für GGW in gemischten Strategien bei Spielen in Normalform

Dieses Beispiel zeigt die Berechnung des Gleichgewichts in gemischten Strategien in einem Normalformspiel

A
LinksRechts
BOben1; -1-1 ; 1
Unten-1 ; 11; -1

 

Einsetzen der Auszahlungswerte in die oben hergeleiteten Gleichungen bringt:

p=(-1-1)/(-1-1-1-1) ) = -2/-4 = 0,5

q = 0,5

Die optimale gemischte Strategie ist also, für Spieler A mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 „Links“ zu spielen und für Spieler B mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 „Oben“ zu spielen.

Es muss aber nicht unbedingt ein Gleichgewicht in gemischten Strategien existieren. Dies ist dann der Fall, wenn das Ergebnis kleiner null oder größer 1 ist. Diese Werte sind für Wahrscheinlichkeiten nicht zulässig.

Zahlenbeispiel für ein GGW in gemischten Strategien bei großen Strategiemengen

Zwei Anbieter A und B sollen individuell über die optimale Produktionsmenge entscheiden. Ziel ist es, einen möglichst hohen Gewinn zu erzielen. Dies entspricht dem Cournot-Duopol.

p=500-qA-qB

GA = p*qA

GA = qA*(500-qA-qB)

dGA/qA = 500-2qA-qB = 0

dGB/qB = 500-2qB-qA = 0

 

qA = (500-qB)/2

qB = (500-qA)/2

qA = (500-(500-qA)/2)/2 = (500-250+qA/2)/2 = (250+qA/2)/2 = 125+qA/4

qA = 125+qA/4

¾*qA = 125 | *4; /3

qA = 166,67

 

Analog für Spieler B

qB = 166,67

Dies entspricht dem Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen beider Spieler, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen im Nash-GleichgewichtIm Vergleich zum Monopolpreis (Cournotpunk) ist dies jedoch kein effizientes Ergebnis.

Voraussetzungen für das Nash-Gleichgewich

Voraussetzungen sind:

  • Rationale Spieler: Die Spieler nutzen alle vorliegenden Informationen (diese müssen nicht vollständig sein) und versuchen, ihren Nutzen zu maximieren. Es ist durchaus möglich, dass bestimmte Informationen, z. B. die Auszahlungen des Gegenspielers, unbekannt sind, bzw. nur Wahrscheinlichkeiten darüber gebildet werden können.
  • Keine Kooperation zwischen Spielern: Die Spieler können keine bindenden Verträge [LINK] abschließen. Es ist zwar Kommunikation möglich, aber es gibt keine übergeordnete Instanz, die getroffene Vereinbarungen durchsetzt. Daher können die Spieler von der Vereinbarung abweichen.
  • Strategiewahl erfolgt unbeobachtet: Die Spieler entscheiden entweder simultan oder erfahren erst nach ihrer Strategiewahl (= Wahl der Handlung), welche Strategie der Mitspieler gewählt hat.

Bedeutung des Nash-Gleichgewichs

Das Nash-Gleichgewicht hat in der Spieltheorie große Bedeutung erlangt. Es findet nicht nur Anwendung in den Wirtschaftswissenschaften, sondern auch in der Biologie, Chemie und Informatik.

Jedoch stellt das Nash-Gleichgewicht nicht zwangsläufig eine Lösung dar. Es zeigt zwar Strategiekombinationen [LINK], in denen die Spieler nicht einseitig abweichen möchten, aber es sagt nicht, wie diese Strategiekombinationen erreicht werden.

Zudem muss ein Nash-Gleichgewicht nicht immer mit der besten Auszahlung für beide Spieler übereinstimmen. Dies wird im Gefangenendilemma deutlich. D.h. Es wird nicht immer die effiziente Strategiekombination gewählt.

Beispiel

Das Koordinationsspiel [LINK] Kampf der Geschlechter [LINK] hat zwei Nash-Gleichgewiche:

Abbildung Kampf der Geschlechter.jpg

Das erste GGW ist {Bahnhof;Bibliothek} und das zweite {Bibliothek; Bahnhof}. Es ist jetzt unklar, wie genau eine dieser beiden Strategiekombinationen erreicht wird. Ohne Kommunikation besteht nur eine 50 %ige Chance, dass sich beide Spieler an demselben Ort treffen. Aber auch mit Kommunikation vor der Entscheidung, wird es schwierig, da jeder Spieler einen Anreiz hat, das Gleichgewicht zu erreichen, in der er eine höhere Auszahlung hat.

Die tatsächliche Strategie kann also in diesem Falle nicht durch das Nash-Gleichgewicht abgeleitet werden.

Beispiele für Nash-Gleichgewiche

Das Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma ist das bekannteste Beispiel in der Spieltheorie.

Gefangenendilemma

Definition: Das Gefangenendilemma ist eines der bekanntesten Spiele der Spieltheorie. Es zeigt, dass individuell rationales Verhalten zu schlechten Ergebnissen führen kann.

Beispiel Gefangenendilemma

Zwei Gefangene A und B werden je eines leichten Verbrechens und eines schweren Verbrechens bezichtigt. Für das leichte Verbrechen gibt es genug Beweise, sodass eine Verurteilung unproblematisch ist. Für das schwere Verbrechen fehlen hingegen die Beweise, sodass ein Geständnis notwendig ist. Wenn ein Spieler gesteht, belastet er nicht nur sich, sondern auch den Mitspieler.

Um ein Geständnis zu erreichen wird den Gefangenen angeboten, dass sie die Strafe für das leichte Verbrechen erlassen bekommen, wenn Sie aussagen. Sollten sie die einzige Person sein, die aussagt, werden sie auch nicht für das schwere Verbrechen bestraft.

Eine Kommunikation der Gefangenen wird durch getrennte Befragung unterbunden.

Die Auszahlungsmatrix für das Gefangenendilemma sieht wie folgt aus:

A
Nicht aussagenaussagen
BNicht aussagen-1; -1-10; 0
aussagen0; -10-9; -9

Die Tabelle zeigt die Jahre Gefängnis, mit denen ein Gefangener in der jeweiligen Situation rechnen muss.

Lösung und Nashgleichgewicht im Gefangenendilemma

Die Lösung ist das Finden eines Nash-Gleichgewichts.

An der Auszahlungsmatrix ist zu erkennen, dass es für Spieler A immer besser ist, auszusagen:

  • Wenn also B nicht aussagt, könnte er mit einer Aussage 0 Jahre statt 1 Jahr ins Gefängnis gehen.
  • Wenn B aussagt, würden Spieler A neun Jahre statt 10 Jahre Gefängnis erwarten

Die gleiche Überlegung trifft für Spieler B zu.

Beide Spieler wählen also Gestehen.

Die Grafik mit Pfeilen verdeutlicht die SituationGefangenendileamma Pfeile zum Nash GleichgewichtEinordnung Gefangenendilemma

Das Gefangenendilemma gehört zur Gruppe der sozialen Dilemmata in [LINK] der Spieltheorie.

Es ist wichtig bei der Analyse von Situationen und dem Mechanismusdesign [LINK]

Das Gefangenendilemma ist in der VWL Standardlehrinhalt.

Wie sich eine solche Dilemmasituation auf die Gesellschaft auswirkt, kann nicht pauschal beantwortet werden. Das Auseinanderbrechen von Kartellen führt in der Regel zu einer Wohlfahrtssteigerung. Rüstungswettbewerbe hingegen führen zu einer Verringerung der Wohlfahrt.

Überwindung des Gefangenendilemmas

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Gefangenendilemma zu überwinden.

  • Wiederholung des Spiels ohne vorhersagbares Ende. Hier kommen die Triggerstrategien [LINK] zum Einsatz.
  • Normen und Werte: Dies verändert die Auszahlung, da der Verstoß gegen eine Norm (z.B. niemals aussagen) eine negative Auszahlung bedeutet.
  • Internalisierung: z.B. durch Steuern, Strafen und Eigentumsrechte. Hier ist eine zentrale Instanz notwendig, die diese Strafen bzw. Steuern durchsetzt bzw. das Eigentumsrecht vergibt. Durch die Internalisierung bezieht er die Kosten in seine Optimierung mit ein und kommt so zu einem kollektiv besseren Ergebnis. Im Grunde werden durch die Internalisierung die Auszahlungen so verändert, dass keine Dilemmasituation mehr vorliegt.

Erweiterungen des Modells

Das Grundmodell kann in verschiedener Weise erweitert werden:

  • Wiederholtes Gefangenendilemma
    • Mit oder ohne vollständige Erinnerung
  • N-Personen-Gefangenendilemma: Hier geht es meist um den Beitrag zu öffentlichen Gütern oder die Nutzung von öffentlichen Gütern. In der Regel werden hier keine Auszahlungsmatrizen verwendet, sondern das Problem als Formel dargestellt. Es folgt dann eine Optimierung (Ableitung der Zielgröße jedes einzelnen Teilnehmers nach der Einflussgröße des Teilnehmers).

Beispiele für Gefangenendilemma

  • Politische Entscheidungen: Kubakrise
  • Versteigerungen wie amerikanische Versteigerung (War of attrition)
  • Cournot-Duopol: Auch die von Courtnot vorgestellte Lösung entspricht einer Gefangenendilemmasituation.
  • Mutproben (Chicken Game)

 

Market Maker

Der Market Maker (auch Marktmacher oder Marktpfleger) sind Teilnehmer im Finanzmarkt, die Käufern und Verkäufern als Vertragspartner (Kontrahent) gegenüberstehen.  Damit sorgen sie dafür, dass Kaufangebote und Verkaufsangebote sofort erfüllt werden.

Wo kommen Market Maker zum Einsatz?

Market Maker kommen an Börsen zum Einsatz. Sie haben eine große Menge der Aktien, für die sie den Handel unterstützen wollen. Wenn ein Kaufgesuch (Order) eingeht, kann der Market  Maker diese Aktie zu einem marktgerechten Preis anbieten. Der potenzielle Käufer kann damit seine Nachfrage sofort befriedigen.

Gleiches gilt für Verkaufsgesuche. Der Market Maker kauft die angebotenen Aktien zu einem marktgerechten Preis.

Zweck ist, ausreichend Liquidität zur Verfügung zu stellen und Volatilität zu reduzieren.

Risiken, Spread und Gewinn des Market Makers

Der Market Maker trägt ein nicht unbeträchtliches Risiko, da er eine große Menge der Aktien hält. Sollte der Aktienpreis zwischen Ankauf und Verkauf zu stark fallen, erleidet er einen Verlust.

Steigt hingegen der Aktienpreis, kann er beim Verkauf der Aktien einen Gewinn verbuchen. Durch diese Differenz (Spread) verdient der Market Maker Geld. Daher kauft er eine Aktie beispielsweise zu 10 Euro und bietet sie für 10,01 Euro an. Der Spread ist die Differenz: 10,01 € – 10,00 € = 0,01 €

Diese Differenz wird auch Bid-Ask-Spread genannt.

Zwar sind die Preisunterschiede häufig gering, aber durch ein hohes Handelsvolumen entstehen hier teilweise beträchtliche Gewinne.

Kritik an Market Makern

Da der Market Maker viele Käufe und Verkäufe kanalisiert, kann er Einfluss auf den Aktienpreis nehmen. Dies gilt besonders für Aktien mit geringem Handelsvolumen und einer geringen Marktkapitalisierung, da der Market Maker hier einen großen Teil der im Umlauf befindlichen Aktien besitzen kann.

Andere Bezeichnungen für Market Maker

  • Jobbers
  • Specialists
  • Designated Market Maker