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Grenzerlös

Definition Grenzerlös

Der Grenzerlös (auch Grenzumsatz) gibt an, um wieviel der Erlös bzw. Umsatz eines Anbieters steigt oder sinkt, wenn eine Einheit des Produktes mehr verkauft wird. Er wird durch die erste Ableitung der Umsatzfunktion berechnet und entspricht damit der Steigung der Umsatzfunktion.

Grenzerlös berechnen

Der Grenzerlös wird durch die erste Ableitung der Erlösfunktion berechnet. Die Erlösfunktion gibt an, wie viel Umsatz man bei einer bestimmten Menge q und einem bestimmten Preis p erzielt.

Allgemeine Formel zur Berechnung des Grenzerlöses

q: Menge

p: Preis pro Stück

E(q): Erlös bzw. Umsatz

Erlös: E(q) = p(q) * q

Ableiten von E(q) nach q durch Anwenden der Produktregel bringt:

Grenzerlös = E‘(q) = p‘(q) * q + p(q) * q‘

Berechnung des Grenzerlöses mit linearer Erlösfunktion

Es ist folgende lineare Formel für die Preis-Absatz-Funktion gegeben.

p(q) = 50 – 2q

Daraus wird die Erlösfunktion berechnet, indem p(q) mit q multipliziert wird.

Erlösfunktion/ Umsatz: E(q) = (50 – 2q) * q

Auflösen der Klammern bringt:

E(q) = 50q – 2q^2

Die erste Ableitung der Erlös- bzw. Umsatzfunktion bringt:

E‘(q) = 50 – 4q

Das folgende Diagramm zeigt die Entwicklung des Erlöses sowie den Verlauf des Grenzerlöses für das obige Beispiel in Abhängigkeit von der Menge.

Diagramm Grenzerlös

In der Grafik ist zu sehen, dass der Erlös bei einer Menge von 12,5 maximal wird und dort einen Höchststand von 312,5 GE annimmt. Der Grenzerlös ist hier Null. Jede weitere Erhöhung der Menge führt also zu einem Sinken des Erlöses.

Zusammenhang mit der Nachfragefunktion bzw. Preis-Absatzfunktion

Um den Grenzerlös zu berechnen, muss man die Erlösfunktion aufstellen. Diese ist das Produkt aus Menge q und Preis p. Es gilt also für den Erlös E: E = p * q. Jedoch ändert sich der Preis, wenn die Menge steigt oder sinkt. Daher wird p in Abhängigkeit von q dargestellt. Dies ist im Abschnitt Allgemeine Formel zur Berechnung des Grenzerlöses dargestellt.

Die Abhängigkeit der Menge vom Preis wird allgemein als folgende Funktion geschrieben: q(p)

Diese Funktion ist die Preis-Absatz-Funktion.

Beispiel

Das folgende Beispiel zeigt den Zusammenhang zwischen Preis-Absatz-Funktion (Nachfragefunktion), Erlösfunktion und Grenzerlös.

Preis-Absatz-Funktion: p = 120 – 3q

Erlösfunktion

E = p(q) * q

E = (120-3q)*q

E = 120q-3q^2

Grenzerlös durch Ableiten von E

E‘ = 120 – 6q

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Preis-Absatz-Funktion (Nachfragefunktion), Erlös und Grenzerlös.

Grenzerlös und Preis-Absatz-Funktion

Es ist zu erkennen, dass die Grenzerlösfunktion E‘ stärker fällt als die Preis-Absatz-Funktion (PAF). Sie hat exakt die doppelte Steigung. Auch die Formel zeigt dies.

Grenzerlös Bedeutung

Der Erlös ist dort maximal, wo der Grenzerlös gleich null ist. Wenn der Grenzerlös kleiner Null (also negativ) ist, sinkt der Gesamtumsatz mit jeder weiteren verkauften Menge.

Jedoch eignet sich der Grenzerlös allein nicht zur Bestimmung der optimalen Produktionsmenge, da die Kosten nicht mit einbezogen wurden. Es kann zwar ein maximaler Umsatz erzielt werden, aber gleichzeitig ein nichtoptimaler Gewinn. Dies liegt daran, dass die Kosten vernachlässigt werden.

Bezieht man die Kosten mit ein, kann das Gewinnmaximum berechnet werden.

Gewinnmaximierung mithilfe des Grenzerlöses

Das Gewinnmaximum kann durch die Berechnung des Grenzerlöses ermittelt werden. Dies gilt für einen Monopolisten, der sich einer bekannten Preis-Absatz-Funktion gegenübersieht.

Allgemeines Vorgehen

Der Gewinn G wird berechnet aus:

G = Umsatz bzw. Erlös E(q) – Kosten

Daher benötigen wir noch eine Kostenfunktion der Form

K(q) = kvar * q + Kfix

G = E(q) – K(q)

G‘ = E‘(q) – K‘(q) = 0

E‘(q) = K‘(q)

Diese allgemeine Formel zeigt, dass der Gewinn dort am größten ist, wo der Grenzerlös gleich den Grenzkosten entspricht. Die Grenzkosten entsprechen in der Regel den variablen Stückkosten.

Das Diagramm veranschaulicht die Formeln.

Grenzerlös und Grenzkosten im Gewinnmaximum

Grenzerlös und vollkommene Konkurrenz

In der vollkommenen Konkurrenz (z. B. Marktform des Polypols) lautet das Gleichgewicht Preis = Grenzerlös.

Rechenbeispiel

Gegeben sind folgende Funktionen. Gesucht ist die gewinnmaximale Kombination aus Menge und Preis.

Preis-Absatzfunktion: p(q) = 50 – 2q

Kostenfunktion: K = 0,5*q + 10

q: Menge

p: Preis

G: Gewinn

G = (50-2q)*q – (0,5q+10)

Gleichsetzen von Grenzerlös und Kosten:

0,5 = 50-4q

0 = 49,5 + 4q

4q = 49,5 | :4

q = 49,5/4 = 12,375

q* = 12,375

p* = 50-2*12,375 = 25,25

Die Gewinnmaximale Menge beträgt 12,375. Der gewinnmaximale Preis liegt bei 25,25.

Rechenbeispiele zum Grenzerlös

Preis-Absatzfunktion: p(q) = 100 – q

Kf = 10

kv = 2 = konstant

Gewinnfunktion: G(q) = p(q) * q – Kf – q * kv(q)

G(q) = (100 – q)*q – 10 – (q*2)

G(q) = 100q – q2 – 10 – 2q

G(q) = 98q – q2 – 10

Grenzgewinnfunktion:  E‘(q) = 98 – 2q

Die Fixkosten fallen weg, da sie von der Menge und dem Preis unabhängig sind.

Um das Gewinnmaximum zu ermitteln, muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden. Es ergibt sich daher:

0 = 98 – 2q

Das Gewinnmaximum liegt bei q* = 49 ME , der gewinnmaximale Preis ist demzufolge p* = 51 GE.

Das Gewinnmaximum ist dort erreicht wo Grenzerlös und Grenzkosten gleich groß sind. Das heißt, der zusätzliche Erlös ist genau so groß, wie die zusätzlichen Kosten, wenn die Menge um eine Einheit erhöht wird. Überschreitet man diese Menge, wären die zusätzlichen Kosten höher als der zusätzlich durch den Verkauf dieser Einheit generierte Umsatz.