Gemischte Strategie – Spieltheorie

Definition gemischte Strategie

Ein Spieler spielt dann eine gemischte Strategie, wenn er eine bestimmte Handlung und die alternative Handlung (=Strategien) nur mit eine gegebenen Wahrscheinlichkeit wählt.

Eine gemischte Strategie kann eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung umfassen. Sie ist damit eine allgemeine Form der reinen Strategie, bei der die Wahrscheinlichkeit für eine konkrete Handlung in einem spieltheoretischen Model gleich eins ist.

Beispiel gemischte Strategien

Im folgenden Koordinationsspiel [LINK] sollen sich die Spieler A und B entweder am Bahnhof oder an der Bibliothek treffen. Die Auszahlungen sind in der folgenden Auszahlungsmatrix angegeben.

B

BahnhofBibliothek
ABahnhof1;10;0
Bibliothek0;01;1

In einer reinen Strategie [LINK] würde sich Spieler A z.B. für Bahnhof entscheiden. In einer gemischten Strategie hingegen wählt er eine Wahrscheinlichkeit p, mit der er zum Bahnhof geht und die Gegenwahrscheinlichkeit 1-p, mit der er zur Bibliothek geht.

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt die gemischte Strategie dar.

Zahlenbeispiel gemischte Strategie

A und B können frei wählen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie an welchen Treffpunkt gehen.

A wählt, mit der Wahrscheinlichkeit p = 30 % zum Bahnhof zu gehen. 1-p = 70 % Bibliothek

B wählt, mit der Wahrscheinlichkeit p = 50 % zum Bahnhof zu gehen. 1-p = 50 % Bibliothek

Schreibweise für gemischte Strategien: [{30;70},{50;50}]

Rot: Spieler A

Schwarz: Spieler B

Erwartungswert der Auszahlung in gemischten Strategien

Wenn jede Strategie nur noch mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gespielt wird, kann nur noch der Erwartungswert der Auszahlung bestimmt werden. Dieser errechnet sich für die gegebene Auszahlungsmatrix wie folgt.

B

Links (L)Rechts (1-L)
AOben (O)A; aB; b
Unten (1-O)C; cD; d

Spieler A

EA = A*L*O+B*(1-L)*O+C*L*(1-O)+D*(1-L)*(1-O)

Spieler B:

EB = a*L*O+b*(1-L)*O+c*L*(1-O)+d*(1-L)*(1-O)

Nashgleichgewicht in gemischten Strategien

Der ausführliche Beitrag zum Nash-Gleichgewicht ist hier.

Das Nashgleichgewicht in gemischten Strategien ist die Kombination aus Wahrscheinlichkeiten, bei der keiner der Spieler einen Anreiz hat, individuell eine andere Wahrscheinlichkeit zu wählen.

Rechenbeispiel für Gleichgewicht in gemischten Strategien

Gegeben ist folgende Auszahlungsmatrix.

B
LinksRechts
AObenA; aB; b
UntenC; cD; d
  • L: Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B Links spielt.
  • 1-L: Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B Rechts spielt.
  • O: Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A Oben spielt.
  • 1-O: Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A Unten Spielt.
  • EB, EA: Erwartete Auszahlungen für Spieler A bzw. B

Die Spieler stellen zunächst den Erwartungswert ihrer Auszahlung (siehe oben) auf.

Spieler A

EA = A*L*O+B*(1-L)*O+C*L*(1-O)+D*(1-L)*(1-O)

Spieler B:

EB = a*L*O+b*(1-L)*O+c*L*(1-O)+d*(1-L)*(1-O)

Der Erwartungswert wird dann nach der jeweiligen Wahrscheinlichkeit abgeleitet. Bei Spieler A ist es L, bei Spieler B O.

EA/dL = AO+BO+C-CO+DO-D = 0

EB/dO = aL+b-bL-cL-d+dL = 0

Es ist zu erkennen, dass die Ableitung nicht mehr von der eigenen Wahrscheinlichkeit abhängt, sondern nur noch von der Wahrscheinlichkeit des Gegenspielers.

Es kann jetzt eine Gleichung umgestellt werden, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

O = (D-C)/(A+B-C+D)

L = (d-b)/(a-b-c+d)

Die Auszahlungen aus der Matrix können jetzt in diese Geleichung eingesetzt werden, und damit wird das Nashgleichgewicht in gemischten Strategien ausgerechnet.

Allerdings ist das Ergebnis nur dann sinnvoll, wenn O und L zwischen 0 und 1 liegen. Wahrscheinlichkeiten von < 0 und > 1 sind nicht interpretierbar.

Interpretation gemischte Strategie

Eine gemischte Strategie kann verschieden interpretiert werden.

  1. Wiederholung des gleichen Spiels: Wird das gleiche Spiel mit den gleichen Spielern mehrfach gespielt, können die Spieler jedes Mal andere Strategien wählen. Dies kann dazu genutzt werden, um bei Koordinationsspielen ein optimales oder stabiles Verhalten zu finden.
  2. Spieler gehören eine Population an. Das Spiel wird mehrmals mit Spielern zweier Populationen gespielt. Diese haben aber unterschiedliche Verhaltensweisen. So ist denkbar, dass 30 % aller Spieler der Gruppe A zum Bahnhof gehen und 70 % stattdessen zur Bibliothek.
  3. Randomisieren von einmaligen Spielen: Mithilfe der gemischten Strategie kann ein Erwartungswert der Auszahlung ermittelt werden. Je nachdem ob sich Spieler A zufällig mit der gewählten Wahrscheinlichkeit für Bahnhof oder Bibliothek entscheidet.

Ein Nashgleichgewicht in gemischte Strategie muss nicht immer existieren.

Ein Nashgleichgewicht in gemischten Strategien ist nicht unbedingt optimal. Ändere ich meine Wahrscheinlichkeit, wirkt sich dies zunächst auf den anderen Spieler aus. Dieser ändert dann seine Wahrscheinlichkeit, sodass ich eine Änderung in meinen tatsächlichen Auszahlungen feststelle.

Dies ist jedoch in der Praxis nur schwer zu erkennen.

Voraussetzungen für gemischte Strategien

Der Zufallsgenerator zur Auswahl der Strategie muss perfekt sein. Er darf sich nicht von vorherigen Strategien oder dem Mitspieler beeinflussen lassen.

2 Gedanken zu „Gemischte Strategie – Spieltheorie

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