Nash-Gleichgewicht

Definition: In einer nicht kooperativen Spielsituation bezeichnet das Nash-Gleichgewicht die beste Antwort auf die beste Antwort des Gegenspielers.

Interpretation Nash-Gleichgewicht

Im Nash-Gleichgewicht lohnt es sich für keinen Spieler von seiner Strategie (= gewählte Handlung) abzuweichen, da er sich dadurch nicht besserstellen kann.

Arten des Nash-Gleichgewichts

Nash-Gleichgewichte können nach verschiedenen Kriterien unterschieden werden. In der Regel unterscheiden sie sich hinsichtlich der Strategiewahl.

  • Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien: Die Spieler treffen eine konkrete Entscheidung über ihre Strategie.
  • Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: Die Spieler treffen eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit, mit der sie eine bestimmte Strategie spielen.
  • Bayessches Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: In diesem Falle ist dem Spieler der Typ des Gegenspielers unbekannt. Er kann lediglich Wahrscheinlichkeiten bilden, dass der Gegenspieler von einem bestimmten Typ (Auszahlungen) ist.
  • Nash-Gleichgewicht in sequenziellen Spielen: Dabei werden die Entscheidungen nicht simultan, sondern nacheinander getroffen. Dem zweiten Spieler ist die Entscheidung des ersten Spielers bekannt. Siehe Rückwärtsinduktion [LINK].
  • Nash-Gleichgewicht in simultanen Spielen: Häufigster Fall in der Spieltheorie.

Algorithmen zum Finden von Nash-Gleichgewichen in reinen Strategien

Es gibt zwei Möglichkeiten, Nash-Gleichgewiche in reinen Strategien in Spielen in Normalform [LINK] zu finden.

  • Streichen von streng dominierten Strategien
  • Pfeile einzeichnen

Streichen von streng dominierten Strategien

Ist eine Strategie in jeder Situation schlechter als eine andere zur Auswahl stehende Strategie, kann sie aus der weiteren Betrachtung gestrichen werden. Dies kann für die Spieler wechselseitig so lange erfolgen, bis nur noch eine Strategiekombination übrig ist.

Dies ist jedoch nicht in jedem Falle möglich.

Beispiel Streichen von streng dominierten Strategien

Die Abbildung zeigt, wie streng dominierte Strategien gestrichen werden können.

Streichen von streng dominierten StrategienWichtig ist, dass nur streng dominierte Strategien gestrichen werden dürfen. Strategien, die nur schwach dominiert sind, müssen behalten werden, da sonst Nash-Gleichgewichte übersehen werden können.

Beispiel Keine streng dominierten Strategien

Die folgende Tabelle zeigt eine Situation, in der keine Strategie streng dominant ist.

Keine dominierende Strategie

Gibt es keine streng dominierte Strategie, darf keine Strategie gestrichen werden. Dann kann die „Pfeil-Methode“ angewendet werden.

Einzeichnen von Pfeilen

Die erste Abbildung zeigt ein Spiel mit einem Nash-Gleichgewicht.

Nashgleichgewicht Pfeile

Die zweite Abbildung zeigt ein Spiel mit zwei Nash-Gleichgewichten.

2 Nash-Gleichgewichte Pfeile

Die dritte Abbildung zeigt ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht.

Kein Nash-Gleichgewicht PfeileNicht jedes Spiel muss über ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien verfügen. Die letzte Abbildung macht dies deutlich.

Berechnen von Nash-Gleichgewichten in gemischten Strategien

Eine gemischte Strategie liegt vor, wenn man den einzelnen Strategien Wahrscheinlichkeiten zuordnet, mit denen man diese auswählt.

Wann kann eine gemischte Strategie vorliegen?

  • Wenn das Spiel wiederholt wird.
  • Wenn die Zahl der Strategien sehr groß ist (z.B. Wahl der Produktionsmenge zwischen 0 und 100. Hier ist jeder Wert, auch Brüche, möglich)

Im Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien versucht der Spieler den Erwartungswert seiner Auszahlungen zu maximieren.

Spieler 1
LinksRechts
Spieler 2ObenA; aB ; b
UntenC ; cD; d

Die Tabelle zeigt ein Spiel in Normalform. Die Auszahlungen für Spieler 2 sind in Großbuchstaben angegeben, die für Spieler 2 in Kleinbuchstaben.

Ei: Erwartungswert

p: Spieler 1 spielt Links

1-p: Spieler 1 spielt Rechts

q: Spieler 2 spielt Oben

1-q: Spieler 2 spielt Unten

Die Erwartungswerte für Spieler 1 und 2 berechnen sich wiefolgt:

E1= p*q*a+(1-p)*q*b+p*(1-q)*c+(1-p)*(1-q)*d

E2 = p*q*A+(1-p)*q*B+p*(1-q)*C+(1-p)*(1-q)*D

Jetzt muss optimiert werden. Dazu wird von Ei die erste Ableitung gebildet. Spieler 1 kann p beeinflussen, daher wird E1 nach p abgeleitet.

dE1/dp = qa-qb+c-qc-d+qd = 0

dE2/dq = pA+B-pB+C-pC-D+pD = 0

Jetzt nach p bzw. q umstellen

p = (d-c)/(a-b-c+d)

q = (D-C)/(A-B-C+D)

Mit diesen Gleichungen lassen sich für beliebige Auszahlungskombinationen die optimalen gemischten Strategien berechnen.

Man sieht, dass der Erwartungswert der Auszahlung für Spieler 1 nicht von seiner Mischwahrscheinlichkeit p abhängt, sondern von der Wahrscheinlichkeit q, die von Spieler 2 bestimmt wird.

Dies ist der Fall, weil bei der Ableitung das p (bzw. q) für Spieler 1 (bzw. Spieler 2) wegfällt.

Das Gleichgewicht in gemischten Strategien berechnet sich wie folgt.

Zahlenbeispiel für GGW in gemischten Strategien bei Spielen in Normalform

Dieses Beispiel zeigt die Berechnung des Gleichgewichts in gemischten Strategien in einem Normalformspiel

A
LinksRechts
BOben1; -1-1 ; 1
Unten-1 ; 11; -1

 

Einsetzen der Auszahlungswerte in die oben hergeleiteten Gleichungen bringt:

p=(-1-1)/(-1-1-1-1) ) = -2/-4 = 0,5

q = 0,5

Die optimale gemischte Strategie ist also, für Spieler A mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 „Links“ zu spielen und für Spieler B mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 „Oben“ zu spielen.

Es muss aber nicht unbedingt ein Gleichgewicht in gemischten Strategien existieren. Dies ist dann der Fall, wenn das Ergebnis kleiner null oder größer 1 ist. Diese Werte sind für Wahrscheinlichkeiten nicht zulässig.

Zahlenbeispiel für ein GGW in gemischten Strategien bei großen Strategiemengen

Zwei Anbieter A und B sollen individuell über die optimale Produktionsmenge entscheiden. Ziel ist es, einen möglichst hohen Gewinn zu erzielen. Dies entspricht dem Cournot-Duopol.

p=500-qA-qB

GA = p*qA

GA = qA*(500-qA-qB)

dGA/qA = 500-2qA-qB = 0

dGB/qB = 500-2qB-qA = 0

 

qA = (500-qB)/2

qB = (500-qA)/2

qA = (500-(500-qA)/2)/2 = (500-250+qA/2)/2 = (250+qA/2)/2 = 125+qA/4

qA = 125+qA/4

¾*qA = 125 | *4; /3

qA = 166,67

 

Analog für Spieler B

qB = 166,67

Dies entspricht dem Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen beider Spieler, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen im Nash-GleichgewichtIm Vergleich zum Monopolpreis (Cournotpunk) ist dies jedoch kein effizientes Ergebnis.

Voraussetzungen für das Nash-Gleichgewich

Voraussetzungen sind:

  • Rationale Spieler: Die Spieler nutzen alle vorliegenden Informationen (diese müssen nicht vollständig sein) und versuchen, ihren Nutzen zu maximieren. Es ist durchaus möglich, dass bestimmte Informationen, z. B. die Auszahlungen des Gegenspielers, unbekannt sind, bzw. nur Wahrscheinlichkeiten darüber gebildet werden können.
  • Keine Kooperation zwischen Spielern: Die Spieler können keine bindenden Verträge [LINK] abschließen. Es ist zwar Kommunikation möglich, aber es gibt keine übergeordnete Instanz, die getroffene Vereinbarungen durchsetzt. Daher können die Spieler von der Vereinbarung abweichen.
  • Strategiewahl erfolgt unbeobachtet: Die Spieler entscheiden entweder simultan oder erfahren erst nach ihrer Strategiewahl (= Wahl der Handlung), welche Strategie der Mitspieler gewählt hat.

Bedeutung des Nash-Gleichgewichs

Das Nash-Gleichgewicht hat in der Spieltheorie große Bedeutung erlangt. Es findet nicht nur Anwendung in den Wirtschaftswissenschaften, sondern auch in der Biologie, Chemie und Informatik.

Jedoch stellt das Nash-Gleichgewicht nicht zwangsläufig eine Lösung dar. Es zeigt zwar Strategiekombinationen [LINK], in denen die Spieler nicht einseitig abweichen möchten, aber es sagt nicht, wie diese Strategiekombinationen erreicht werden.

Zudem muss ein Nash-Gleichgewicht nicht immer mit der besten Auszahlung für beide Spieler übereinstimmen. Dies wird im Gefangenendilemma deutlich. D.h. Es wird nicht immer die effiziente Strategiekombination gewählt.

Beispiel

Das Koordinationsspiel [LINK] Kampf der Geschlechter [LINK] hat zwei Nash-Gleichgewiche:

Abbildung Kampf der Geschlechter.jpg

Das erste GGW ist {Bahnhof;Bibliothek} und das zweite {Bibliothek; Bahnhof}. Es ist jetzt unklar, wie genau eine dieser beiden Strategiekombinationen erreicht wird. Ohne Kommunikation besteht nur eine 50 %ige Chance, dass sich beide Spieler an demselben Ort treffen. Aber auch mit Kommunikation vor der Entscheidung, wird es schwierig, da jeder Spieler einen Anreiz hat, das Gleichgewicht zu erreichen, in der er eine höhere Auszahlung hat.

Die tatsächliche Strategie kann also in diesem Falle nicht durch das Nash-Gleichgewicht abgeleitet werden.

Beispiele für Nash-Gleichgewiche

Das Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma ist das bekannteste Beispiel in der Spieltheorie.

7 Gedanken zu „Nash-Gleichgewicht

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